Module

Conjugué d’un nombre complexe

Domaine: Algèbre
Prérequis: Nombres complexes

Définition du conjugué

Définition Conjugué d’un nombre complexe

Soit \(z=x+iy\) un nombre complexe, \(x\) et \(y\) étant deux réels.

On appelle conjugué de \(z\), le nombre complexe, noté \(\overline z\), défini par :

\[\overline z=x-iy\]

Propriété Interprétation géométrique du conjugué

Soit \(M\) un point d’affixe \(z\). Le point \(N\) d’affixe \(\overline z\) est le symétrique de \(M\) par rapport à l’axe des abscisses.

Figure Symétrie associée au conjugué

Représentation géométrique du conjugué.

Propriétés du conjugué

Propriété Calcul sur les conjugués

Si \(z\) est un nombre complexe, alors on a :

\[\overline{\overline z}=z\qquad z+\overline z=2\operatorname{Re}(z)\quad\text{et}\quad z-\overline z=2i\operatorname{Im}(z)\]

\[(z\in\mathbb R)\Longleftrightarrow(z=\overline z)\qquad (z\ \text{est un imaginaire pur})\Longleftrightarrow(z=-\overline z)\]

\[\forall(z,z')\in\mathbb C^2,\quad \overline{z+z'}=\overline z+\overline{z'}\quad\text{et}\quad\overline{zz'}=\overline z\,\overline{z'}\]

\[\forall z\in\mathbb C^*,\quad \overline{\left(\frac1z\right)}=\frac1{\overline z}\]

Remarques Remarques

Remarque Conjugués de sommes et produits

Soient \(n\in\mathbb N^*\) et \(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n,\lambda\) des nombres complexes.

\[\overline{\sum_{i=1}^{n}a_i}=\sum_{i=1}^{n}\overline{a_i}\qquad \overline{\prod_{i=1}^{n}a_i}=\prod_{i=1}^{n}\overline{a_i}\]

\[\overline{\sum_{i=1}^{n}\lambda a_i}=\overline\lambda\times\sum_{i=1}^{n}\overline{a_i}\qquad \overline{\prod_{i=1}^{n}\lambda a_i}=(\overline\lambda)^n\prod_{i=1}^{n}\overline{a_i}\]

Si de plus \(\lambda\) est un réel, alors on a :

\[\overline{\sum_{i=1}^{n}\lambda a_i}=\lambda\times\sum_{i=1}^{n}\overline{a_i}\qquad \overline{\prod_{i=1}^{n}\lambda a_i}=\lambda^n\prod_{i=1}^{n}\overline{a_i}\]

Exemple résolu Condition pour qu’un quotient soit réel réservé aux comptes

Exemple résolu Équation avec conjugué réservé aux comptes