Module
Composition d’applications
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Applications entre ensembles
Composition et associativité
Définition Composition de deux applications
Soient \(E\), \(F\), \(G\) trois ensembles.
Soient \(f\in \mathcal{F}(E,F)\), \(g\in \mathcal{F}(F,G)\).
À tout élément \(x\) de \(E\), correspond un unique \(y=f(x)\) dans \(F\). À \(y\), correspond un unique \(z=g(y)\) dans \(G\). Donc à tout élément \(x\) de \(E\), correspond un unique \(z=g(f(x))\) dans \(G\).
La composée de \(g\) et de \(f\), notée \(g\circ f\), est l’application de \(E\) dans \(G\) définie par :
\[\forall x\in E,\ g\circ f(x)=g(f(x))\]
Exemple résolu Composition avec une racine carrée réservé aux comptes
Exemple résolu Composition de fonctions polynomiales réservé aux comptes
Exemple résolu Compositions entre espaces de dimensions différentes réservé aux comptes
Propriété Associativité de la composition
Soient \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) quatre ensembles.
\[f\in\mathcal{F}(E,F),\ g\in\mathcal{F}(F,G)\ \text{et}\ h\in\mathcal{F}(G,H)\ \Longrightarrow\ h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f\]
Remarques Remarques
Remarque Existence d’une composée
\(g\circ f\) peut avoir un sens et \(f\circ g\) ne pas en avoir.
Remarque Non-commutativité de la composition
Si \(g\circ f\) et \(f\circ g\) sont définies, on peut avoir \(f\circ g\ne g\circ f\).