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Cercle trigonométrique

Domaine: Trigonométrie

Cercle trigonométrique

Définition Repérage et fonctions trigonométriques

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \(\left(O,\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OV}\right)\).

Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon \(1\), centré en \(O\), orienté dans le sens direct.

Un point \(M\) de ce cercle est repéré par un réel \(x\) correspondant à la longueur de l’arc \(\overset{\frown}{UM}\), affectée du signe correspondant au sens de rotation.

\(x\) est une mesure en radians de l’angle \(\left(\overrightarrow{OU},\overrightarrow{OM}\right)\).

\(\cos x\) est l’abscisse du point \(M\) et \(\sin x\) son ordonnée.

Soit \((T)\) la tangente au cercle trigonométrique au point \(U\).

Si la droite \((OM)\) n’est pas parallèle à \((T)\), elle coupe \((T)\) en un point \(H\).

Par définition, la tangente du réel \(x\) est la longueur \(UH\) affectée du signe \(+\) (respectivement \(-\)) si \(H\) est au-dessus de \((OU)\) (respectivement au-dessous de \((OU)\)).

Figure Cercle trigonométrique et tangente

Cercle trigonométrique, projections et tangente.

Théorème Identités fondamentales

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad \cos^2 x+\sin^2 x=1\]

\[\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\},\quad \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\]

Corollaire Bornes du sinus et du cosinus

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad -1\leq\cos x\leq 1\quad\text{et}\quad -1\leq\sin x\leq 1\]

Corollaire Caractérisation du cercle unité

\[\text{Soient }a\text{ et }b\text{ deux réels.}\quad a^2+b^2=1\Longleftrightarrow\exists x\in\mathbb{R},\ a=\cos x\text{ et }b=\sin x\]

Théorème Identité de la tangente

\[\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\right\},\quad 1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\]

Exemple résolu Calcul du sinus et du cosinus à partir de la tangente réservé aux comptes

Tableau Valeurs particulières des fonctions trigonométriques

Valeurs particulières.

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)
\(\tan x\)	\(0\)	\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)

Figure Rectangle inscrit dans le cercle trigonométrique

Rectangle inscrit et demi-droites issues du centre.

Figure Rayons d’angles remarquables

Rayons remarquables dans le demi-plan supérieur.

Figure Cercle des valeurs remarquables

Cercle trigonométrique des angles et coordonnées remarquables.