Terme
Théorème de Rolle
- Expression
- théorème de Rolle
- Termes plus larges
- Fonction continue sur un intervalle, Dérivabilité d’une fonction
- Condition de définition
- Fonction continue sur un intervalle, Dérivabilité d’une fonction
- Conséquence de
- tangente-horizontale
Définition
Théorème Existence d’un point de dérivée nulle
Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
Soit \(f\in \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R})\).
On suppose que \(f\) est continue sur \([a,b]\), dérivable sur \(]a,b[\), et \(f(b)=f(a)\).
Figure Fonction aux extrémités de même image
Illustration des hypothèses du théorème de Rolle.
Explication Interprétation cinématique
Pour un mouvement rectiligne où l’on repère le mobile par son abscisse \(x(t)\) à l’instant \(t\), la vitesse instantanée à l’instant \(c\) est
Un point mobile qui revient à son point de départ a vu sa vitesse s’annuler à un instant donné.
Remarques Remarques
Remarque Nécessité de la continuité
L’hypothèse de continuité sur \([a,b]\) est vraiment nécessaire : \(f\) peut être dérivable sur \(]a,b[\) avec \(f(b)=f(a)\) sans que sa dérivée ne s’annule sur \(]a,b[\).
Ces hypothèses de continuité sur \([a,b]\) et de dérivabilité sur \(]a,b[\) sont les hypothèses minimales de régularité de \(f\).
En pratique, on appliquera ce théorème à une fonction dérivable sur \([a,b]\), ce qui suffit pour qu’elle soit continue sur \([a,b]\) et de dérivabilité sur \(]a,b[\).
Figure Fonction non continue contredisant la conclusion
Contre-illustration de l’hypothèse de continuité.
Exemple résolu Annulation unique d’une dérivée réservé aux comptes
Module : Théorème de Rolle
Figures
Figure Fonction aux extrémités de même image
Illustration des hypothèses du théorème de Rolle.
Module : Théorème de Rolle
Figure Fonction non continue contredisant la conclusion
Contre-illustration de l’hypothèse de continuité.
Module : Théorème de Rolle
Explication Interprétation graphique
Il existe au moins un point de la courbe représentative de \(f\) en lequel la tangente est horizontale.