Terme
Fonction tangente
- Expression
- fonction tangente
- Termes plus larges
- fonction-circulaire, Tangente
- Termes plus spécifiques
- Fonction arc tangente
- Cas particulier de
- fonction-circulaire
- Condition de définition
- Tangente
- Fonction réciproque
- Fonction arc tangente
Définition
Définition Définition, périodicité et parité de la fonction tangente
La fonction tangente est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\) par : \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).
La fonction tangente est périodique de période \(\pi\) puisque \(\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\},\ \tan(x+\pi)=\tan x\).
Il suffit d’étudier la fonction sur un intervalle d’amplitude \(\pi\).
La fonction tangente est impaire puisque \(\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\},\ \tan(-x)=-\tan x\).
Ainsi, la courbe de la fonction tangente est symétrique par rapport à l’origine du repère \(O\).
L’intervalle d’étude de la fonction tangente est donc \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\).
Module : Fonction tangente
Définition formelle
Définition Définition, périodicité et parité de la fonction tangente
La fonction tangente est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\}\) par : \(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\).
La fonction tangente est périodique de période \(\pi\) puisque \(\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\},\ \tan(x+\pi)=\tan x\).
Il suffit d’étudier la fonction sur un intervalle d’amplitude \(\pi\).
La fonction tangente est impaire puisque \(\forall x\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{\pi}{2}+k\pi\ /\ k\in\mathbb{Z}\right\},\ \tan(-x)=-\tan x\).
Ainsi, la courbe de la fonction tangente est symétrique par rapport à l’origine du repère \(O\).
L’intervalle d’étude de la fonction tangente est donc \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\).
Module : Fonction tangente
Propriété Dérivabilité et variations de la fonction tangente
La fonction tangente est dérivable sur les intervalles de la forme \(I_k=\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi\right[\), \(k\in\mathbb{Z}\) (donc continue sur \(I_k\)) :
Signe de la dérivée sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\).
Variations de la fonction tangente sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\).
La fonction tangente est strictement croissante sur \(\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\).
Tableau Variations de la fonction tangente sur l’intervalle d’étude
Tableau de variations.
Figure Courbe de la fonction tangente
Courbe de la fonction tangente.
Module : Fonction tangente
Figures
Figure Courbe de la fonction tangente
Courbe de la fonction tangente.
Module : Fonction tangente