Terme

Fonction arc cosinus

Expression: fonction Arc cosinus, Arc cosinus
Symbole: Arccos
Termes plus larges: Fonction cosinus, Fonction réciproque d’une bijection
Fonction réciproque: Fonction cosinus
Cas particulier de: Fonction réciproque d’une bijection

Définition

Définition Fonction réciproque de la restriction du cosinus

On appelle fonction Arc cosinus, notée \(\operatorname{Arccos}\), la fonction réciproque de la restriction de la fonction cosinus à l’intervalle \([0,\pi]\).

Module : Fonction arc cosinus

Définition formelle

Définition Fonction réciproque de la restriction du cosinus

On appelle fonction Arc cosinus, notée \(\operatorname{Arccos}\), la fonction réciproque de la restriction de la fonction cosinus à l’intervalle \([0,\pi]\).

Module : Fonction arc cosinus

Propriété Bijection et identités de la fonction arc cosinus

La fonction Arc cosinus est une bijection de \([-1,1]\) sur \([0,\pi]\), continue et strictement décroissante sur \([-1,1]\).

\[\forall x\in[-1,1],\quad \operatorname{Arccos}x\text{ est l’unique angle de }[0,\pi]\text{ dont le cosinus vaut }x\]

\[\forall x\in[0,\pi],\quad \operatorname{Arccos}(\cos x)=x\]

\[\forall x\in[-1,1],\quad \cos(\operatorname{Arccos}x)=x\]

Exemple résolu Calculs de valeurs de la fonction arc cosinus réservé aux comptes

Exemple résolu Équations et inéquation avec la fonction arc cosinus réservé aux comptes

Exemple résolu Simplification d’une expression avec la fonction arc cosinus réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Centre de symétrie de la courbe

Le résultat de l’exemple de simplification justifie que le point de coordonnées \(\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\) est un centre de symétrie pour la courbe de la fonction Arc cosinus.

Remarque Égalité de deux cosinus

\[\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2,\quad \cos a=\cos b\Longleftrightarrow a=b+2k\pi\text{ ou }a=-b+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\]

Remarque Conservation de l’égalité par le cosinus

\[\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2,\quad a=b\Longrightarrow\cos a=\cos b\]

Remarque Injectivité du cosinus sur l’intervalle restreint

\[\forall(a,b)\in[0,\pi]^2,\quad \cos a=\cos b\Longleftrightarrow a=b\]

Tableau Valeurs remarquables de la fonction arc cosinus

Tableau de valeurs remarquables.

\(x\)	\(-1\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\operatorname{Arccos}x\)	\(\pi\)	\(\frac{5\pi}{6}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)	\(\frac{2\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(0\)

Module : Fonction arc cosinus

Figures

Figure Courbe de la fonction arc cosinus

Représentation graphique de la fonction Arc cosinus.

Module : Fonction arc cosinus