Calcul de primitives

Plan

1. 1 Généralités

   • Primitives et intégrales

2. Intégrale et aire

   • Intégrale et aire
     • Unité d’aire dans un repère orthogonal
     • Domaine délimité par une courbe et aire associée
     • Aire lorsque la fonction est positive
     • Aire lorsque la fonction est négative
     • Aire algébrique d’un domaine
     • Décomposition de l’aire selon le signe

3. 2 Primitives des fonctions usuelles

   • Primitives des fonctions usuelles

4. 3 Opérations et primitives

   • Opérations et primitives

5. 4 Primitives exponentielles et trigonométriques

   • Primitives exponentielles et trigonométriques

6. 5 Primitives de produits polynômes et exponentielles complexes

   • Primitives de produits polynômes et exponentielles complexes

Objectifs

Calcul de primitives

Généralités

• Connaître la définition d’une primitive

  Connaître la définition d’une primitive d’une fonction sur un intervalle.

  Connaître · Primitive d’une fonction

• Montrer qu’une fonction est une primitive

  Savoir montrer qu’une fonction est bien une primitive d’une autre fonction.

  Cette méthode peut servir de vérification lors d’un calcul de primitive d’une fonction.

  Appliquer · Primitive d’une fonction

• Connaître le théorème d’existence d’une primitive

  Connaître le théorème de l’existence d’une primitive d’une fonction sur un intervalle.

  Connaître · Existence et forme des primitives

• Connaître la définition d’une intégrale

  Connaître la définition d’une intégrale d’une fonction continue sur un segment.

  Connaître · Intégrale entre deux bornes

• Interpréter géométriquement une intégrale positive

  Savoir interpréter géométriquement l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un segment.

  Utiliser · Aire lorsque la fonction est positive

Primitives des fonctions usuelles

• Reconnaître des expressions composées usuelles

  Reconnaître des expressions du type

  \[u'u^\alpha,\quad\dfrac{u'}{u^2},\quad\dfrac{u'}{\sqrt{u}},\quad\dfrac{u'}{u},\quad u'e^u,\quad u'\cos(u),\quad u'\sin(u),\quad\dfrac{u'}{\cos^2u},\quad u'\left[1+\tan^2(u)\right],\ldots\]

  afin d’en calculer les primitives.

  Reconnaître, calculer · Primitives de compositions usuelles

Primitives de fractions rationnelles

• Reconnaître ou décomposer une fraction rationnelle

  On reconnait une primitive d’une fonction usuelle.

  Sinon on décompose en éléments simples puis on reconnait des primitives de fonctions usuelles.

  Reconnaître, déterminer · Primitives des fonctions usuelles, Primitives des éléments simples de première espèce

• Connaître les primitives des éléments simples de première espèce

  Connaître les primitives des éléments simples de première espèce (voir primitives de fonctions usuelles).

  Connaître · Primitives des fonctions usuelles, Primitives des éléments simples de première espèce

Primitives de fonctions particulières

• Déterminer des primitives de puissances trigonométriques

  \[x\mapsto\cos^2(x),\quad x\mapsto\sin^2(x),\quad x\mapsto\cos(x)\sin(2x),\quad x\mapsto\cos^p(x)\sin^q(x),\ldots\]

  Déterminer · Formules de trigonométrie, Primitives de compositions usuelles

• Déterminer des primitives exponentielles et trigonométriques

  \[x\mapsto e^{kx}\cos(px)\quad\text{et}\quad x\mapsto e^{kx}\sin(px)\]

  Déterminer · Formules de primitives exponentielles et trigonométriques

• Déterminer des primitives de produits polynôme–exponentielle

  \[x\mapsto P(x)e^{\alpha x}\]

  Déterminer · Recherche d’une primitive par identification