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Théorème de la limite monotone
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Théorème de la limite monotone
Théorème Convergence et divergence des suites monotones
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\).
\[(u_n)\text{ croissante et majorée}\Longrightarrow(u_n)\text{ convergente}\]
\[(u_n)\text{ croissante et non majorée}\Longrightarrow(u_n)\text{ divergente et }\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\]
\[(u_n)\text{ décroissante et minorée}\Longrightarrow(u_n)\text{ convergente}\]
\[(u_n)\text{ décroissante et non minorée}\Longrightarrow(u_n)\text{ divergente et }\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty\]
Exemple résolu Divergence d’une suite récurrente quadratique réservé aux comptes
Exemple résolu Étude graphique et convergence d’une suite récurrente réservé aux comptes
Remarque Démontrer une convergence sans calculer la limite
Ce théorème permet de démontrer qu’une suite est convergente sans calculer la limite.