Module

Dérivées partielles

Domaine: Analyse

Dérivées partielles

Définition Dérivées partielles d’ordre un

Soit \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\), \((x,y)\mapsto f(x,y)\), une fonction de deux variables réelles \(x\) et \(y\).

Fixons \(y\) et faisons varier \(x\). Si la fonction de \(x\) ainsi obtenue est dérivable, on dit que \(f\) admet une dérivée partielle d’ordre 1 par rapport à \(x\), que l’on note \(\frac{\partial f}{\partial x}\). On lit « d rond f sur d rond x ».

Fixons \(x\) et faisons varier \(y\). On définit d’une façon analogue la dérivée partielle d’ordre 1 de \(f\) par rapport à \(y\), que l’on note \(\frac{\partial f}{\partial y}\).

Exemple résolu Calcul de dérivées partielles d’ordre un réservé aux comptes

Propriété Dérivées partielles d’ordre deux

Les fonctions \(\frac{\partial f}{\partial x}\) et \(\frac{\partial f}{\partial y}\) sont des fonctions de deux variables qui peuvent éventuellement admettre des dérivées partielles d’ordre 1. On les appelle alors dérivées partielles d’ordre 2 de \(f\) et on les note de la façon suivante :

\[\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x},\quad\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y},\quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2f}{\partial y^2}\]

Exemple résolu Calcul de dérivées partielles d’ordre deux réservé aux comptes